最小二乘加权法在多相流计量中的应用

    随着油田开发向自然条件苛刻的沙漠及海洋的延伸，油田越来越需要功能强、自动化程度高、体积小、操作方便的油井产出液计量设备来提高油藏的管理水平和劳动生产率^[1-2]_。然而，由于油井产出液是流型复杂、成份多变的多相流，要想对其直接进行精确计量比较困难。目前，多相计量技术的研究主要集中在基于各种射线或者超声波的层析射线成像技术，以及基于多信号处理技术、神经网络技术以及模糊模式识别技术等所谓“软”测量方法^[3-4]。

    近10a来，中国石油大学流体测试实验室在多相流体力学和多相流测量方面做了大量的基础理论研究和试验研究。在此基础上，基于“软”测量方法的考虑，开发出智能型多相流量计测系统，并且实现了工业样机的定型和现场实液测试，研究成果通过了相关部门的鉴定。

    1 计测原理

    将冲量定理应用于多相流质量流量的计测，并结合小孔出流模型的压降与出流速率的关系，确立了多相流体质量流量与相关多个物理参量之间的定量关系。利用人工神经网络建立家系统，通过重复利用这种定量关系，并根据已知油、水各自单相的质量密度，进步计测出油、水各相的质量流量，气体的质量流量由气体差压值拟合求解。

    试验装置主体结构如图1，其计量流程可简单描述为：被计量多相流经三相流入口进入试验装置，经气液分离装置预分离后，气体主要积聚在样机的上部空间，并经气体旁路流入三相混合器；液相则经气液分离器下方的U形管组分测量仪进入冲量喷嘴，后与气相在三相混合器混合后经三相流出口流出试验装置。

    2 试验数据采集

    近年来，对以前的试验装置进行了优化和改进，建立了新的试验装置，并在中国石油大学流体测试实验室进行了大量的实验室模拟试验。计量装置上的仪表和单相流量计的信号都要传给微机，为了准确采集各相参数，保证系统稳定运行，结合现场实际，设计了套基于U303型数据采集卡的用数据采集、监视系统，通过采集系统采集了大量数据样本，进行学习。

    三相流模拟流体介质为白油、自来水、空气。本计测系统安装了2套差压传感器、2套微差压传感器、1套压力传感器、1套力传感器。信号传输采集部件主要包括信号线、信号转换器和数据采集卡。

    在试验研究阶段，计测系统计测软件共采集9个通道（Channel）的信号。各学习工况的数据采集由实验室编制的采集程序自动完成，主要采集油相质量流量、气相质量流量、水相质量流量、喷嘴力传感器信号值、喷嘴差压传感器信号值、环形空间上行差压传感器信号值、环形空间下行差压传感器信号值、气体通道差压传感器信号值、容器体压力传感器信号值等9组数据。样本采集模块产生的学习样本包含16组数据，是在试验过程中不断完善的结果，下面分组介绍。

    前4个数据为第1组，是3个单相流量计在1个采样周期的累计流量信号以及采样周期。试验测

    定采样周期为45s。数据对应的变量分别为：

    oil-meter：油单相流量计的计测质量流量；

    gas-meter：气单相流量计的计测质量流量；

    water-meter：水单相流量计的计测质量流量；

    time-cycle：采样周期。

    接下来的4个数据为第2组，是多相流量计下部液相区的控制参量。数据对应的变量分别为：

    afmx，sfmx：喷嘴力传感器信号的均值和方差；

    apmx，spmx：喷嘴差压传感器信号的均值和方差。

    接下来的4个数据为第3组，是多相流量计中部液相区的控制参量。数据对应的变量分别为：

    apup，spup：环形空间上行微差压传感器信号的均值和方差；

    apdn，spdn：环形空间下行微差压传感器信号的均值和方差。

    后4个数据为第4组，是多相流量计其他传感器的信号，数据对应的变量分别为：

    apgs，spgs：气体通道差压传感器信号的均值和方差；

    apvo，spvo：容器体压力传感器信号的均值和方差。

    3 试验数据处理

    3.1 建立计量家系统

    利用样本采集模块采集到的大量试验数据，寻求多参变量系统的特征参量与其状态参量之间的映射关系，建立“家系统”，继而通过计测系统测量传感器信号的值，并由所建立的“家系统”确定出相应状态参量的值，从而实现对多相流系统的测量。

    为了寻求优的参量之间的对应关系，在对工业样机的特征参量与状态参量的选取及构造其间的对应关系时，充分考虑测量原理并充分利用所得的测量数据，终确定由以下方法来确定特征参量与状态参量之间的关系。

    3.1.1 选取状态参量与特征参量

    在状态参量的构造上，采用液相、气、含水率作为状态参量。为方便描述，将状态参量构成的状态参量空间记为

    Y={Y^（1），Y^（2），⋯，Y^（n）}（n为状态参量总数）式中，Y^（j）=（y^（j）1，y^（j）2，⋯，y^（j）z）^T（j=1，2，⋯，n；z为样本总数）。

    把除去油、气、水3个单相后的所有采集到的参量及参量的组合都认为是特征参量，为方便描述，将特征参量构成的特征参量空间记为

    X={X^（1），X^{（2）_，⋯，}X^（m）}（m为特征参量总数）式中，X^（i）=（x^（i）1，x^（i）2，⋯，x^（i）n）^T（i=1，2，⋯，m；n为样本总数）。

    3.1.2 处理样本数据并确定状态参量与特征参量之间的关系

    程序算法中拟合Y和X之间的关系式时，并非对数据进行全程拟合只得到个唯的Y=F（X），而是分级拟合，每级有1个拟合关系式Y=F（X）。在分级中，运用了“浮动网格”的数学思想，传统的分级做法是先对分级变量进行排序，然后按1个固定的值为分割单元，对分级变量进行等区间分割为若干等级。“浮动网格”的数学思想则是对分级变量先进行排序，再按个数分成若干个区间，使每个区间内的数据个数相等，而不是每个区间范围大小相等。这样每级的起点与终点值之差并不相等，但每级内的数据总数相等，也即样本容量大小相等，保证了数据的均衡性。

    在对排序后的分级变量进行分级时，如果某区间范围内数据“稠密”，说明在试验过程中该变量在这区间范围内出现的概率大。对这区间分级越多，拟合出的关系式就越能贴近真值，减小误差。而对较为“稀疏”带，该变量在这区间范围内出现的概率就小，拟合出的误差对整个计量结果的误差影响相对较小。因而，实际上“浮动网格”的分级思想依据数据疏密的不同，把全程数据分为了若干级，从而减小了拟合误差，提高了拟合结果的可靠性。

    对于分级变量的选取，事实上并不存在严格意义上的用个变量分级就比用另变量好的问题，只是从试验时采集到的状态参量的稳定性以及与目标函数也要有定的相关性2方面考虑，选取状态参量中稳定性较好的作为分级变量。在分级变量的选择中均选用了稳定性好的下部差压作为各拟合关系式的分级变量。这样，在计量中避免完全相同的工况下仅因分级变量的波动过大造成该工况的拟合方程Y=F（X）不同而出现较大的误差。本试验把分级变量都分为了10级。

    构造方程为

    式中，X1^j_i、X2^j_i、X3^j_i分别为液相、气、含水率3个状态参量，为已知量；C1^j_i、C2^j_i、C3^j_i、C0^j_i为拟合系数，为未知量；i、j为特征参量。

    对于每个特征参量，都有n组数据（试验得到），运用小二乘法，都可以得到1个与液相、气、含水率相关联的方程。

    般在线性假设中，为了研究总体回归模型中变量X与Y之间的线性关系，需要求1条拟合直线。1条好的拟合直线应该是使残差平方和F到小，依此准则并确定X与Y的关系，这就是著名的“普通小二乘法”（OrdinaryLeastSquares）。小二乘准则认为系数应这样选：使得ε_i对所有的i的残差平方和F小^[5]_。则有

    根据微积分学极值原理，要使F小，分别对C1^j_i、C2^j_i、C3^j_i、C0^j_i求偏导，其阶偏导应为零。这样可以得到3个偏微分方程，将其整理为矩阵方程，即

    式中，i为特征参量，i=1，2，3，⋯，12；j为级数，j=1，2，3，⋯，m；z为每级的样本总数，z=1，2，⋯，n。

    运用高斯消元法进行消元求解，确定相应的拟合系数C1ji、C2^j_i、C3^j_i、C0^j_i，并由此得到拟合系数矩阵。

    3.2 小二乘加权法求解状态参量

    小二乘加权法与上面小二乘法不同之处在于，F式中不同的数据点的权重应有所差异，在此先引入数据点的定义。

    数据点是指在某个时点上因变量和所有的解释变量所组成的集合。数据点i即为第i个对象或第i期观测值（y_i，x_1i，x_2i，⋯，k_ki）。小二乘准则基于这样种假设：变量之间存在着的数量关系在所有的数据点上都成立。

    在离差平方和算式F中，所有的数据点i对于待预测或待控制数据点的影响或解释的地位是样的，权数都为1/n。但是值得质疑的是不同数据点的变量之间的数量关系存在差异，即已知数据点对所预测或控制的对象的影响力度应该是不样的。因为目的不是为了拟合直线，而在于预测或控制应用，所以有理由给予“影响力更大、更重要”的数据点以更大的权数。这里提出的小二乘加权法正是基于这样的思想，对不同的数据点给以不同的权数W_i来求小残差加权平方和^[6-8]_。

    构造方程为

    式中，C1^j_i、C2^j_i、C3^j_i、C0^j_i为拟合系数，为已知量；X1^j_i、X2^j_i、X3^j_i分别为液相、气、含水率3个状态参量，为未知量；i、j为特征参量。

    根据小二乘准则，系数应这样选择：使得ε_i对所有的i的残差平方和Q（W，X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i）小，则有

    实际运用时，权数往往是在研究数据点的相互影响关系特点后预先予以确定的，故上式可转化为

    式中，W^j_i为已知的预定参数。对照上式可知，普通小二乘法是小二乘加权法在所有数据点的权W^j_i=1时的个特例。

    在小二乘加权法中，权重设置比较关键。由前面的分析已知，权重是已知或可控数据点与待预测数据点之间联系作用大小的函数，权重Wi与采集数据之间有相关关系，传感器采集的数据与液相、气、含水率之间关系越小，说明与待预测点的偏差大，关联作用弱，权重小；传感器采集的数据与液相、气、含水率之间关系越大，说明与待预测点的偏差小，关联作用强，权重大。应用中为简化运算，可根据各已知传感器采集的数据点与液相、气、含水率数据点之间进行拟合，得到该传感器与液相、气、含水率之间的1个相关变量，作定性分析而加以设定。从而根据不同传感器所采集的不同数据均与液相、气、含水率之间进行关系拟合，得到各自的相关变量，即为各自的权重。

    下面来求QW（X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i）中的参数X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i。在多元线性回归模型中

    Q_W（X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i）是X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i的函数，根据小二乘准则，有

    根据微积分学极值原理，要使QW（X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i）小，分别对X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i求偏导，其阶偏导应为零，即

    整理为矩阵方程，即

    所得方程组通过VC++编程，用高斯消元法实现液相流量、气、含水率的终求解结果。由液相流量和U形管组分仪的计测结果，可以得到油、水单相流量的计算结果，终求得油、气、水的单相流量。

    4 结论

    1）智能型多相流量计计测系统成功地将多相流流动规律、神经网络技术、多传感器综合技术、VisualC++编程实时控制等有机地结合起来，创造了种简单、实用的多相流计量方法。

    2）数据处理中通过小二乘加权法求解，充分利用了多路传感器所测数据各自对油、气、水测量影响的重要性，提高了测量的精度。

    3）该计测系统试验数据表明：液相总量相对误差在±5%以内，液相含水率相对误差在±1.5%以内；气相相对误差在±20%以内，气相的相对误差则较之前有了良好的改进。

    4）试验结果满足了评价多相流量计性能的要求，计测精度可以满足油田生产管理以及油藏监测等的需要，其中液相流量计测精度和含水率的计测精度均达到并可以超过当前多相流量计的佳水平。

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